ピタゴラス音律
ピタゴラス音律(ピタゴラスおんりつ)は、全ての完全五度および完全四度の音程を純正にする音律である。純正な完全五度は周波数比3:2であり、純正な完全四度は周波数比4:3である。
方法[編集]
例としてD(ニ)を起点に、上下に3回づつ、純正な完全五度の音を得ることを繰り返すと以下のようになる。
F - C - G - D - A - E - B
この7つの音は全音階を構成する音である。得られた音は実際には広い音域に渡っているが、オクターヴ関係にある音には同じ音名が与えられるため、オクターヴ単位で音高を移して、これらを1オクターヴの範囲内に配列することでピタゴラス音律による全音階が得られる。
この作業をさらに拡張しようとすると問題が浮上する。即ちオクターヴの比率は2:1であり、完全五度を3:2とした場合、3/2の冪乗は2/1の冪乗と一致することはないため、この操作を何回繰り返しても互いにオクターヴ関係にある音は得られない。同様の作業をさらに上下に3回づつ行うと以下のようになる。
A♭ - E♭ - B♭ - F - C - G - D - A - E - B - F♯ - C♯ - G♯
12平均律においてはA♭とG♯のような異名同音は実際に全く同じ音であるが、このA♭とG♯には約23.46セント≒1/4半音の差が生じる。この差をピタゴラスコンマと呼ぶ。
したがって、半音階を構成するために、A♭を省いてE♭からG♯までの12音を用いると、G♯からE♭への音程は、3:2の比率による純正な完全五度(約701.96セント)よりピタゴラスコンマ分狭い音程(約678.49セント)になる。この音程による和音は顕著なうなりを生じるため、狼の吠声に例えてウルフの五度(en:Wolf interval)と呼ばれる。
音名 | Dからの音程 | 計算式 | 比率 | 大きさ (セント) |
平均律との差 (セント) |
---|---|---|---|---|---|
A♭ | 減五度 | 588.27 | -11.73 | ||
E♭ | 短二度 | 90.22 | -9.78 | ||
B♭ | 短六度 | 792.18 | -7.82 | ||
F | 短三度 | 294.13 | -5.87 | ||
C | 短七度 | 996.09 | -3.91 | ||
G | 完全四度 | 498.04 | -1.96 | ||
D | 一度 | 0 .00 | 0.00 | ||
A | 完全五度 | 701.96 | 1.96 | ||
E | 長二度 | 203.91 | 3.91 | ||
B | 長六度 | 905.87 | 5.87 | ||
F♯ | 長三度 | 407.82 | 7.82 | ||
C♯ | 長七度 | 1109.78 | 9.78 | ||
G♯ | 増四度 | 611.73 | 11.73 |
音名 | C | D | E | F | G | A | B | C | ||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
比率 | 1/1 | 9/8 | 81/64 | 4/3 | 3/2 | 27/16 | 243/128 | 2/1 | ||||||||
間隔 | - | 9/8 | 9/8 | 256/243 | 9/8 | 9/8 | 9/8 | 256/243 | - |
音程の大きさ[編集]
ピタゴラス音律では異名同音的音程は異なる大きさを持つ。表に上記の12の音からの各音程の周波数比率とおおよそのセント値を示す。
その定義上、ピタゴラス音律の11の完全五度は3:2すなわち約701.955セントである。五度圏を閉じるためには、平均律がそうであるように、12の完全五度の平均値は700セントであることが要求されるため、 残る1つは約678.495セントになる(ウルフの五度)。このウルフの五度は異名同音による五度であるため、より正確には減六度である。
- 9つの短三度は約294.135セント、3つの増二度は約317.595セント、その平均値は300セント。
- 8つの長三度は約407.820セント、4つの減四度は約384.360セント、その平均値は400セント。
- 7つの全音階的半音(短二度)は約90.225セント、5つの半音階的半音(増一度)は約113.685セント、その平均値は100セント。
つまりピタゴラス音律では、異名同音的音程にはピタゴラスコンマ(約23.46セント)分の差が存在する。
またピタゴラス音律では純正な長三度(5:4≒386.31セント)は得られないが、減四度が純正な長三度と僅差になる。これはピタゴラス音律の長三度と純正な長三度の差であるシントニックコンマ(約21.51セント)とピタゴラスコンマ(約23.46セント)の値がごく近いことによる結果である。
参考文献[編集]
- Barbour, J. Murray. "The Persistence of the Pythagorean Tuning System." Scripta Mathematica. 1933, 1:286-304.
- Lindley, Mark. "Pythagorean intonation." The New Grove Dictionary of Music and Musicians. 2nd ed. London: Macmillan, 2001.